Рішення
Інтуїція нам підказує, що в групі із 23 людей збіг дати народження для двох людей така висока, бо розглядаються будь-які два члени групи. І ця ймовірність складається з кількості пар (22 пари), що знаходяться у цій групі людей. Порядок людей в парах із цієї груп значення не має і загальна кількість пар обчислюється наступним чином 23*22/2=253. Коли бачиш число 253, легко розумієш, що серед такої кількості пар людей збіг дати народження дуже великий. Важливо те, що парадокс дня народження працює на збігу днів народження для будь-яких двох членів групи людей.
Математичні обчислення. Для прикладу, візьмемо групу в яку входить n людей. Серед такої кількості людей немає народжених у високосний рік, немає близнюків, і народження дітей не залежить від дня тижня або пори року. В житті насправді все складніше: літом народжуваність вище, а в деяких країнах через особливий розклад роботи лікарень народжують в окремі дні. Такі умови збільшують ймовірність збігу дня народження. Якби всі діти народжувались у понеділок, середу або п'ятницю, то збіг був би дуже великий. В першу чергу розглянемо, яка буде ймовірність того, що всі дні народження різні. Назвемо цю ймовірність p(n), група складається з n людей. При умовах, що n більше ніж 365 та відповідно до принципу Діріхле ймовірність дорівнює 0. При умовах, що n менше або дорівнює 365, поміркуємо так: для приклада запам'ятаємо день народження окремої людини.
Тепер візьмемо другу людину та ймовірність, що дні народження не збігаються, дорівнює 1-1/365. Таким чином, розрахуємо ймовірність розбіжності усіх людей групи. Для n людини: 1-(n-1)/365. Шукаємо добуток всіх ймовірностей:
p¯(n)=1⋅(1−1/365)⋅(1−2/365)…(1−n−1/365)=365⋅364…(365−n+1)365n=365!365n(365−n)!
Таким чином, ймовірність збігу дня народження у двох членів групи з кількості n людей дорівнює p(n)=1–p¯(n).
Значення функції понад 1/2 коли n=23. При такому значенні ймовірність збігу дорівнює 50,7%. Для різних значень n ймовірність збігу наведена в таблиці.