Шановні клієнти! На данний момент наш магазин не приймає замовлення з технічних причин. Ви можете відправити ваше замовлення через кошик на сайті та ми зв'яжемося з вами, як тільки наше виробництво знову запрацює. Приносимо вибачення за незручності.
Парадокси та уявні експерименти
Парадокси, уявні експерименти та завдання, рішення яких, на перший погляд, суперечать здоровому глузду. Парадокси та завдання, рішення яких можуть здатися несподіваними. Більш того, багатьом людям буває складно прийняти їх правильні рішення навіть після того, як їм ці рішення розповіли.
Сінкер зібрав найцікавіші завдання та парадокси у цій статті, а також їх рішення, щоб нікого не мучити :)
Сінкер зібрав найцікавіші завдання та парадокси у цій статті, а також їх рішення, щоб нікого не мучити :)
Парадокс Монті Голла
Задача
Давайте пофантазуємо: ви берете участь у розіграші головного призу національної лотереї — автомобіля. Навпроти вас троє дверей, за однією — приз, за іншими двома — козенята. Вам потрібно вибрати одні двері. Наприклад, ваш вибір — двері за номером 1. Ведучий завжди знає, де знаходиться головний приз, а де — козенята, тому він наступним кроком відкриває не обрані вами двері, а інші двері, де знаходиться козеня. Наприклад, це двері за номером 3. Потім ведучий запитує вас: «Чи готові Ви змінити своє перше рішення (двері номер 1 та обрати двері номер 2? Чи все ж таки ви залишите свій вибір незмінним і оберете двері, на які показали вперше?».
Питання
Чи варто змінювати свій вибір і відкрити двері номер 2 або все-таки залишити свій перший вибір і відкрити двері номер 1? Чи збільшаться ваші шанси виграти приз (автомобіль), якщо ви приймете пропозицію ведучого і зміните свій вибір?
Давайте пофантазуємо: ви берете участь у розіграші головного призу національної лотереї — автомобіля. Навпроти вас троє дверей, за однією — приз, за іншими двома — козенята. Вам потрібно вибрати одні двері. Наприклад, ваш вибір — двері за номером 1. Ведучий завжди знає, де знаходиться головний приз, а де — козенята, тому він наступним кроком відкриває не обрані вами двері, а інші двері, де знаходиться козеня. Наприклад, це двері за номером 3. Потім ведучий запитує вас: «Чи готові Ви змінити своє перше рішення (двері номер 1 та обрати двері номер 2? Чи все ж таки ви залишите свій вибір незмінним і оберете двері, на які показали вперше?».
Питання
Чи варто змінювати свій вибір і відкрити двері номер 2 або все-таки залишити свій перший вибір і відкрити двері номер 1? Чи збільшаться ваші шанси виграти приз (автомобіль), якщо ви приймете пропозицію ведучого і зміните свій вибір?
Рішення
На перший погляд все виглядає так: після того, як ведучий відчинив двері номер 3, де знаходиться козеня, автомобіль може бути за однією із двох дверей, що залишилися (двері номер 1 або номер 2). Гравець не має більше підказок, де знаходиться автомобіль, тому ймовірність виграти для нього однакова і складає 1/2 (50% на 50%). Гравцю здається, що зміна рішення (відкрити двері номер 2, а не номер 1) не дасть йому додаткових переваг і саме в цьому криється парадокс цієї задачі — ймовірність 50 на 50 відсотків неправильна!
Чому саме? На одну із дверей вказали ви, за іншою є приз, значить залишаються тільки одні двері, які може ведучий відкрити при вас. Саме в момент відкриття дверей номер 3, ведучий негласно повідомляє вам інформацію, що за цими дверима призу немає, і вам краще змінити своє рішення та відкрити двері номер 2 замість номера 1. Зміна початкового рішення збільшує шанси гравця у два рази. Такий висновок суперечить інтуїтивному сприйняттю більшості людей, тому цю задачу називають парадоксом Монті Голла.
Насправді ваш перший випадковий вибір розбиває всі двері на дві групи. За дверима, що ви обрали приз знаходиться з імовірністю 1/3 (~ 33%), за двома іншими — з ймовірністю 2/3 (~ 66%). Але ведучий вносить зміни: він відкриває одні двері у другій групі. І тепер вся ймовірність 2/3 відноситься тільки до двох зачинених дверей (номер 1 та номер 2).
На перший погляд все виглядає так: після того, як ведучий відчинив двері номер 3, де знаходиться козеня, автомобіль може бути за однією із двох дверей, що залишилися (двері номер 1 або номер 2). Гравець не має більше підказок, де знаходиться автомобіль, тому ймовірність виграти для нього однакова і складає 1/2 (50% на 50%). Гравцю здається, що зміна рішення (відкрити двері номер 2, а не номер 1) не дасть йому додаткових переваг і саме в цьому криється парадокс цієї задачі — ймовірність 50 на 50 відсотків неправильна!
Чому саме? На одну із дверей вказали ви, за іншою є приз, значить залишаються тільки одні двері, які може ведучий відкрити при вас. Саме в момент відкриття дверей номер 3, ведучий негласно повідомляє вам інформацію, що за цими дверима призу немає, і вам краще змінити своє рішення та відкрити двері номер 2 замість номера 1. Зміна початкового рішення збільшує шанси гравця у два рази. Такий висновок суперечить інтуїтивному сприйняттю більшості людей, тому цю задачу називають парадоксом Монті Голла.
Насправді ваш перший випадковий вибір розбиває всі двері на дві групи. За дверима, що ви обрали приз знаходиться з імовірністю 1/3 (~ 33%), за двома іншими — з ймовірністю 2/3 (~ 66%). Але ведучий вносить зміни: він відкриває одні двері у другій групі. І тепер вся ймовірність 2/3 відноситься тільки до двох зачинених дверей (номер 1 та номер 2).
Завжди є шанс програти, але зміна вибору збільшує ймовірність виграшу.
Посилання: http://www.michurin.net/probability-theory/Monty-Hall-problem.html
Посилання: http://www.michurin.net/probability-theory/Monty-Hall-problem.html
Парадокс хлопчика і дівчинки
Задача
Містер Сміт – щасливий батько двох дітей і, принаймні, один із дітей – син.
Питання
Яка ймовірність, що друга дитина також хлопчик?
Інтуїтивна відповідь 1/2 — неправильна.
Містер Сміт – щасливий батько двох дітей і, принаймні, один із дітей – син.
Питання
Яка ймовірність, що друга дитина також хлопчик?
Інтуїтивна відповідь 1/2 — неправильна.
Рішення
Існують чотири варіанти для родини з двома дітьми:
Нам відомо, що один із дітей — син, тому для нас мають значення тільки перші три варіанти. Із наведених прикладів ми бачимо, що в двох із трьох варіантів є і дівчинка, і хлопчик і тільки в одному варіанті є обидва хлопчики, тому правильна ймовірність складає 1/3. Згідно із умовами задачі, що один із дітей — син, має сенс розглядати тільки другу дитину, яка може бути як сином, так і дочкою. Виходячи із вище викладеного, ймовірність складає 1/2. Ця відповідь буде правильною тільки тоді, коли кожна дитина розглядається окремо, даючи відповідь на питання «Який відсоток ймовірності, що друга дитина — син?». Але наша задача потребує виконання двох умов: яка ймовірність, що одна дитина — син (перша умова), при тому, що одна дитина точно син?
Розглянемо більш детально рішення задачі:
Наприклад, є 4000 сімей, які мають двоє дітей. У першій групі із 2000 сімей перша дитина — син. У другій групі сімей першою народилася дочка. Ділимо першу групу сімей порівну: 1000 сімей, де друга дитина — син; та 1000 сімей, де друга дитина — дочка. Другу групу (де народилася перша дівчинка) також ділимо: 1000 сімей, де друга дитина — син та 1000 сімей — дочка. Підбиваючи підсумок, ми бачимо, що 1000 сімей мають двох синів (С+С), 1000 сімей мають двох дочок (Д+Д), 2000 сімей мають і сина і дочку (С+Д) та (Д+С). Згідно з умовами задачі, сім’ї де є одні дочки, нас не цікавлять. Який ми маємо висновок? Із 3000 сімей тільки 1000 має двох синів, а 2000 сімей мають і сина і дочку. Тому ймовірність, що діти різної статі, складає 2/3.
Першоджерело: https://scienceparadoxes.fandom.com
Існують чотири варіанти для родини з двома дітьми:
- Старша дитина — хлопчик, молодша — дівчина.
- Старша дитина — дівчинка, молодша — хлопчик.
- І старша, і молодша дитина — хлопчики.
- І старша, і молодша дитина — дівчинки.
Нам відомо, що один із дітей — син, тому для нас мають значення тільки перші три варіанти. Із наведених прикладів ми бачимо, що в двох із трьох варіантів є і дівчинка, і хлопчик і тільки в одному варіанті є обидва хлопчики, тому правильна ймовірність складає 1/3. Згідно із умовами задачі, що один із дітей — син, має сенс розглядати тільки другу дитину, яка може бути як сином, так і дочкою. Виходячи із вище викладеного, ймовірність складає 1/2. Ця відповідь буде правильною тільки тоді, коли кожна дитина розглядається окремо, даючи відповідь на питання «Який відсоток ймовірності, що друга дитина — син?». Але наша задача потребує виконання двох умов: яка ймовірність, що одна дитина — син (перша умова), при тому, що одна дитина точно син?
Розглянемо більш детально рішення задачі:
Наприклад, є 4000 сімей, які мають двоє дітей. У першій групі із 2000 сімей перша дитина — син. У другій групі сімей першою народилася дочка. Ділимо першу групу сімей порівну: 1000 сімей, де друга дитина — син; та 1000 сімей, де друга дитина — дочка. Другу групу (де народилася перша дівчинка) також ділимо: 1000 сімей, де друга дитина — син та 1000 сімей — дочка. Підбиваючи підсумок, ми бачимо, що 1000 сімей мають двох синів (С+С), 1000 сімей мають двох дочок (Д+Д), 2000 сімей мають і сина і дочку (С+Д) та (Д+С). Згідно з умовами задачі, сім’ї де є одні дочки, нас не цікавлять. Який ми маємо висновок? Із 3000 сімей тільки 1000 має двох синів, а 2000 сімей мають і сина і дочку. Тому ймовірність, що діти різної статі, складає 2/3.
Першоджерело: https://scienceparadoxes.fandom.com
Парадокс днів народжень
Задача
Парадокс дня народження — ствердження, з якого випливає, що якщо є будь-яка група із 23 або більше осіб, то ймовірність того, що хоча б у двох із них дні народження (число і місяць) можуть збігтися, перевищує 50%. Для групи із 60 або більше осіб ймовірність збігу днів народження хоча б у двох її членів становить понад 99%, але 100% вона досягає, тільки коли в групі не менше 367 осіб (з урахуванням високосних років).
Питання
Чи правильне це ствердження? На перший погляд, подібне ствердження суперечить здоровому глузду. Ймовірність, що дитина народиться у певний день року дуже мала, а ймовірність народження двох випадкових дітей в один і той же день ще менша. Але завдяки теорії ймовірності це твердження правильне. У науковому сенсі це не є парадоксом — твердження не має логічної розбіжності. Парадокс у тому, що є різниця при сприйнятті інформації на рівні інтуїції та результатами математичного обчислення.
Парадокс дня народження — ствердження, з якого випливає, що якщо є будь-яка група із 23 або більше осіб, то ймовірність того, що хоча б у двох із них дні народження (число і місяць) можуть збігтися, перевищує 50%. Для групи із 60 або більше осіб ймовірність збігу днів народження хоча б у двох її членів становить понад 99%, але 100% вона досягає, тільки коли в групі не менше 367 осіб (з урахуванням високосних років).
Питання
Чи правильне це ствердження? На перший погляд, подібне ствердження суперечить здоровому глузду. Ймовірність, що дитина народиться у певний день року дуже мала, а ймовірність народження двох випадкових дітей в один і той же день ще менша. Але завдяки теорії ймовірності це твердження правильне. У науковому сенсі це не є парадоксом — твердження не має логічної розбіжності. Парадокс у тому, що є різниця при сприйнятті інформації на рівні інтуїції та результатами математичного обчислення.
Рішення
Інтуїція нам підказує, що в групі із 23 людей збіг дати народження для двох людей така висока, бо розглядаються будь-які два члени групи. І ця ймовірність складається з кількості пар (22 пари), що знаходяться у цій групі людей. Порядок людей в парах із цієї груп значення не має і загальна кількість пар обчислюється наступним чином 23*22/2=253. Коли бачиш число 253, легко розумієш, що серед такої кількості пар людей збіг дати народження дуже великий. Важливо те, що парадокс дня народження працює на збігу днів народження для будь-яких двох членів групи людей.
Математичні обчислення. Для прикладу, візьмемо групу в яку входить n людей. Серед такої кількості людей немає народжених у високосний рік, немає близнюків, і народження дітей не залежить від дня тижня або пори року. В житті насправді все складніше: літом народжуваність вище, а в деяких країнах через особливий розклад роботи лікарень народжують в окремі дні. Такі умови збільшують ймовірність збігу дня народження. Якби всі діти народжувались у понеділок, середу або п'ятницю, то збіг був би дуже великий. В першу чергу розглянемо, яка буде ймовірність того, що всі дні народження різні. Назвемо цю ймовірність p(n), група складається з n людей. При умовах, що n більше ніж 365 та відповідно до принципу Діріхле ймовірність дорівнює 0. При умовах, що n менше або дорівнює 365, поміркуємо так: для приклада запам'ятаємо день народження окремої людини.
Тепер візьмемо другу людину та ймовірність, що дні народження не збігаються, дорівнює 1-1/365. Таким чином, розрахуємо ймовірність розбіжності усіх людей групи. Для n людини: 1-(n-1)/365. Шукаємо добуток всіх ймовірностей:
p¯(n)=1⋅(1−1/365)⋅(1−2/365)…(1−n−1/365)=365⋅364…(365−n+1)365n=365!365n(365−n)!
Таким чином, ймовірність збігу дня народження у двох членів групи з кількості n людей дорівнює p(n)=1–p¯(n).
Значення функції понад 1/2 коли n=23. При такому значенні ймовірність збігу дорівнює 50,7%. Для різних значень n ймовірність збігу наведена в таблиці.
Інтуїція нам підказує, що в групі із 23 людей збіг дати народження для двох людей така висока, бо розглядаються будь-які два члени групи. І ця ймовірність складається з кількості пар (22 пари), що знаходяться у цій групі людей. Порядок людей в парах із цієї груп значення не має і загальна кількість пар обчислюється наступним чином 23*22/2=253. Коли бачиш число 253, легко розумієш, що серед такої кількості пар людей збіг дати народження дуже великий. Важливо те, що парадокс дня народження працює на збігу днів народження для будь-яких двох членів групи людей.
Математичні обчислення. Для прикладу, візьмемо групу в яку входить n людей. Серед такої кількості людей немає народжених у високосний рік, немає близнюків, і народження дітей не залежить від дня тижня або пори року. В житті насправді все складніше: літом народжуваність вище, а в деяких країнах через особливий розклад роботи лікарень народжують в окремі дні. Такі умови збільшують ймовірність збігу дня народження. Якби всі діти народжувались у понеділок, середу або п'ятницю, то збіг був би дуже великий. В першу чергу розглянемо, яка буде ймовірність того, що всі дні народження різні. Назвемо цю ймовірність p(n), група складається з n людей. При умовах, що n більше ніж 365 та відповідно до принципу Діріхле ймовірність дорівнює 0. При умовах, що n менше або дорівнює 365, поміркуємо так: для приклада запам'ятаємо день народження окремої людини.
Тепер візьмемо другу людину та ймовірність, що дні народження не збігаються, дорівнює 1-1/365. Таким чином, розрахуємо ймовірність розбіжності усіх людей групи. Для n людини: 1-(n-1)/365. Шукаємо добуток всіх ймовірностей:
p¯(n)=1⋅(1−1/365)⋅(1−2/365)…(1−n−1/365)=365⋅364…(365−n+1)365n=365!365n(365−n)!
Таким чином, ймовірність збігу дня народження у двох членів групи з кількості n людей дорівнює p(n)=1–p¯(n).
Значення функції понад 1/2 коли n=23. При такому значенні ймовірність збігу дорівнює 50,7%. Для різних значень n ймовірність збігу наведена в таблиці.
БОНУС!
У знятому в 1971 році режисером Феліксом Соболєвим на кіностудії «Київнаукфільм» науково-популярному фільмі «Я та інші» проводився соціально-психологічний експеримент-парадокс під назвою «Обидві пірамідки». Величезну популярність отримало дослідження на сугестивність або конформність, проведене з дітьми дошкільного віку та дорослими.Суть експерименту
На столі знаходяться дві пірамідки: чорного та білого кольору. Троє дітей за проханням експериментаторів кажуть, що обидві пірамідки білого кольору. На конформність перевіряють четверту дитину. Діти наполягають, що обидві пірамідки білі і четверта дитина погоджується з ними. Коли їй кажуть взяти в руки пірамідку чорного кольору, вона бере чорну, хоча перед цим казала, що обидві пірамідки білого кольору. Коли дослідження провели серед дорослих, результат всіх вразив. За домовленістю троє людей називають колір пірамідок білим. Незважаючи на дорослий вік, четверта людина теж називала пірамідки білими. Дослід показав, що дорослі люди не можуть висловити інакшу від колективу думку.
Скориставшись посиланням https://www.youtube.com/watch?v=_LYe58b-3HM ви маєте можливість переглянути фільм «Я та інші», дослід з пірамідками починається з 17:30 хвилини.
Друзі, ділимось враженнями щодо парадоксів у коментарях. Чи чули Ви про ці парадокси раніше? Пізнавальна була для вас стаття? Сінкер радий буде почути вашу думку.
© 2021 «THINKER™»
Kyiv, Ukraine
Kyiv, Ukraine
Click to order
Ваше замовлення
Total: